Методы расчёта резисторных схем постоянного тока

 1.Расчёт эквивалентных сопротивлений линейных бесконечных цепей.

Линейные бесконечные цепи, как правило, симметричны и во многих случаях содержат одинаковые повторяющиеся элементы, состоящие из резисторов. Расчёт сводится к определению эквивалентного сопротивления, равного сопротивлению всей цепи.


Задача № 36. Найдите эквивалентное сопротивление бесконечной цепи (рис. 35), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Для определения эквивалентного сопротивления цепи выделим общий элемент, который бесконечно повторяется. Очевидно, что если отделить его от цепи, то общее сопротивление цепи не изменится, т.к. число таких элементов бесконечно. Выделив повторяющийся элемент цепи и заменив сопротивление остальной цепи искомым сопротивлением R_X, получим эквивалентную схему (рис. 36), сопротивление которой определим по формуле

R_X = 2R + RR_X/ ( R + R_X), (8.1)

или

R_X^{2 –} 2RR_X – 2R² = 0. (8.2)

Решив это квадратное уравнение, получаем значение эквивалентного сопротивления

R_X = R (1 + 3^1/2). (8.3)


Задача № 37. Найдите эквивалентное сопротивление бесконечной цепи 

(рис. 37,а), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Применим такой же приём, но с другим повторяющимся элементом цепи (рис. 37,б).

R_X = (2R + R_X)R/[(2R + R_X) + R] = (2R + R_X)R/(3R + R_X)

или

R_X² + 2RR_X – 2R² = 0. (8.4)

Решив это квадратное уравнение, получим значение эквивалентного сопротивления данной бесконечной цепи:

R_X = R (3^1/2 - 1). (8.5

Задача № 38. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис. 38,а) которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Эквивалентное сопротивление цепи равно сопротивлению четырёх резисторов, соединённых между собой в цепь, изображённую на рис. 42.

Сопротивления R₀ одинаковы и равны R₀ = R (3^1/2 - 1) (8.6)

(смотри решение задачи № 37).

Тогда эквивалентное сопротивление между точками А и В будет равно:

R_AB = (2R₀ + R)R/ (2R₀ + R) + R. (8.7)

Подставив значение R₀ из (8.4) и произведя преобразования, получим 

R_AB = R(6 – 3^1/2)/6. 


2. Шаговый (рекуррентный) метод расчёта эквивалентного сопротивления электрической цепи.


Данный метод удобен в том случае, когда схема представляет собой некоторое число повторяющихся структурных элементов. Этот метод основан на том, что результат первого действия (шага) используется во втором, второй – в третьем и т.д. Число шагов зависит от числа повторяющихся структурных элементов.


Задача № 39. Найти сопротивление цепи, изображённой на рис. 39.




Для решения задачи изобразим схему цепи в более удобном для расчётов и наглядном виде (рис.40,а). Теперь видно, что цепь представляет собой три вложенных друг в друга групп резисторов, соединённых параллельно. Начинают пошаговое определение эквивалентных сопротивлений с самых внутренних элементов. Заменим резисторы R₄ , R₅ , R₆резистором R^’, величину которого определим по формуле: R^’ = R₄ + R₅ R₆ / (R₅ + R₆) (8.8)

В результате замены получим новую схему цепи (рис. 40, б). Аналогично рассчитываем эквивалентное сопротивление резисторов R₂, R₃ и R^’:

R^’’ = R₂ + R^’ R₃ / (R^’ + R₃). (8.9)

В итоге получаем простую схему (рис. 40,в), позволяющую определить сопротивление всей цепи

R _общ = R^’’ R₁ / (R^’’ + R₁). (8.10)


Задача № 40. Найти сопротивление цепи АВ, изображённой на рис. 41.




Расчёт эквивалентного сопротивления цепи АВ начинаем слева. Эквивалентное сопротивление участка цепи АС равно R, т. к. здесь включены параллельно два одинаковых сопротивления 2R. Участок АС соединён последовательно с сопротивлением R. Сопротивление верхней ветви участка АD равно 2R. Т.к. эта ветвь параллельна сопротивлению 2R, то общее сопротивление участка цепи АD равно R. Участок цепи AD соединён последовательно с участком DB, сопротивление которого равно R, поэтому эквивалентное сопротивление верхней ветви цепи АВ равно 2R. Поскольку это сопротивление параллельно сопротивлению 2R нижней ветви цепи АВ, то общее сопротивление цепи АВ равно R.


3. Метод объединения равнопотенциальных узлов.


Этот метод позволяет упрощать схемы электрических цепей путём объединения узлов, имеющих равные потенциалы в один узел.


Задача № 41. Найти сопротивление цепи АВ, изображённой на рис. 42,а.

Так как сопротивление подводящих проводов считается равным нулю, то точки А и D, соединённые проводником имеют одинаковый потенциал, то же можно сказать и о потенциалах точек В и С. Объединив точки А и D в один узел и, сделав то же самое с точками В и С, получим простую схему из трёх параллельно соединённых резисторов (рис. 42,б). общее сопротивление цепи определим по формуле:

1/R_общ = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃, (8.11)

откуда

R_общ = R₁ R₂ R₃/( R₁R₂ + R₂R₃ + R₁R₃). (8.12)


Задача № 42. Найти сопротивление цепи, изображённой на рис.43,а, если сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R. 


Потенциалы точек 1 и 3 одинаковы, поэтому их можно объединить в одну, то же самое можно сделать с точками 2 и 5, 4 и 6. В результате получится видоизменённая упрощённая схема (рис. 43,б).

Резисторы R₁₂ и R₂₃ соединены параллельно, следовательно, их общее сопротивление равно R/2.Точно также общее сопротивление резисторов R₄₅ и R₅₆ равно R/2. Общее сопротивление части цепи параллельной R₃₄ равно R/2 + R/2 = R, поэтому сопротивление всей цепи будет равно R/2.


4. Метод разделения узлов.


Метод разделения узлов схемы основан на том, что, если возможно объединение двух узлов, имеющих равные потенциалы, то возможен и обратный переход: узел схемы можно разделить на две или несколько точек, если получившиеся при этом точки имеют прежние одинаковые потенциалы.


Задача № 43. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис.44) сопротивлением R каждый.

Разделим узел О на две точки, получив два варианта электрической цепи (рис. 45, а) и (рис. 45, б). В первом случае потенциалы точек О^’ и О^’’ не равны. , Если потенциал точки А больше потенциала точки В, то потенциал точки О^’ больше потенциала точки О^’’ и наоборот. Потенциалы же точек О₁ и О₂ равны, так как находятся в одинаковых условиях (полностью симметричны). Отсюда следует, что верным является разделение узла О, показанное на рис. 45, б. Эквивалентная схема цепи, полученная после разделения узла О, изображена на рис. 45, в. Отсюда общее сопротивление цепи между точками А и В равно 3R/2.

Задача № 44. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. 46,а) сопротивлением R каждый.


Единственно верным способом разделения узла О на отдельные точки О₁, О₂ и О₃ является способ, изображённый на рис. 46,б. Эквивалентное сопротивление участков (cd) и (ef) будет равно

R_cd = R_ef = 2R R/ (2R + R) =2R/3. (8.13)

Эквивалентное сопротивление участка АО₁В равно 2R. Эквивалентная схема цепи, полученная после разделения узла О, изображена на рис. 46,в. Общее сопротивление цепи определим по формуле

1/ R_общ = 3/8R + 3/8R + 1/2R = 5/4R, (8.14)

откуда R_общ = 4R/5.

5. Метод преобразования и расчёта цепей с помощью перехода «звезда» - «треугольник».

Этот метод основан на том, что схему, имеющую три узла, можно заменить другой, с тем же числом узлов. При этом сопротивление участка между двумя любыми узлами новой схемы должно быть равно сопротивлению заменяемого участка. В результате получается схема, сопротивление которой эквивалентно сопротивлению данной по условию. Поскольку в результате такого преобразованияизменяются токи внутри цепи, то такую замену проводят в тех случаях, когда не нужно находить распределение токов.





Рассмотрим преобразование схем, имеющих три вывода (трёхполюсников).

Это преобразование называется преобразованием «звезды» (рис. 47,а) в «треугольник» (рис. 47,б), и наоборот.

В «звезде» сопротивление между точками 1 и 2 равно r₁ + r₂, в «треугольнике» R₁₂ (R₁₃ + R₂₃)/(R₁₂ + R₁₃+ R₂₃). Следовательно, для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо выполнение равенства:

r₁ + r₂ = R₁₂ (R₁₃ + R₂₃)/(R₁₂ + R₁₃ + R₂₃). (8.15)

Аналогично для точек 1 и 3 и для точек 2 и 3:

r₁ + r₃ = R₁₃ (R₁₂ + R₂₃)/(R₁₂ + R₁₃ + R₂₃). (8.16)

r₂ + r₃ = R₂₃ (R₁₂ + R₁₃)/(R₁₂ + R₁₃ + R₂₃). (8.17)

Сложив левые и правые части этих уравнений и разделив полученные суммы на 2, получим:

r₁ + r₂ + r₃ = (R₁₂ R₁₃ + R₁₂ R₂₃ + R₁₃ R₂₃)/ )/(R₁₂ + R₁₃ + R₂₃). (8.18)

Вычитая из (8.18) поочерёдно уравнения (8.17), (8.16) и (8.15), получим:

r₁ = R₁₂ R₁₃/ (R₁₂ + R₁₃ + R₂₃); (8.19)

r₂ = R₁₂ R₂₃/ (R₁₂ + R₁₃ + R₂₃); (8.20)

r₃ = R₁₃ R₂₃/ (R₁₂ + R₁₃ + R₂₃). (8.21)

Эти выражения легко запомнить: знаменатель в каждой формуле есть сумма сопротивлений всех резисторов «треугольника», а в числителе дважды повторяется индекс, стоящий слева: r₁ - R₁₂ R₁₃; r₂ - R₁₂ R₂₃; r₃ - R₁₃ R₂₃.

Аналогично получаются формулы для обратного преобразования:

R₁₂ = (r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃) / r₃; (8.22)

R₁₃ = (r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃) / r₂; (8.23)

R₂₃ = (r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃) / r₁. (8.24)

Выражения (8.22) – (8.24) также легко запомнить: числитель у всех выражений один и тот же, а у сопротивления, стоящего в знаменателе, стоит тот индекс, которого не достаёт у сопротивления, стоящего в левой части выражения.

Задача № 45. Определите сопротивление цепи АВ (рис. 48.а), если R₁ = R₅ = 

1 Oм; R₂ = R₆ = 2 Oм; R₃ = R₇ = 

3 Oм; R₄ = R₈ = 4 Oм.


Преобразуем «треугольники» R₁ R₂ R₈ R₄ R₅ R₆ в эквивалентные «звёзды», тогда схема примет вид, изображённый на рис. 48,б. Сопротивления r_1, r_2, r₃, … r₆рассчитаем по формулам: 

r₁ = R₁ R₈/ (R₁ + R₂ + R₈) = 4/7 Ом;

r₂ = R₁ R₂/ (R₁ + R₂ + R₈) = 2/7 Ом;


r₃ = R₂ R₈/ (R₁ + R₂ + R₈) = 8/7 Ом;


r₄ = R₄ R₆/ (R₄ + R₅ + R₆) = 8/7 Ом; 


r₅ = R₅ R₆/ (R₄ + R₅ + R₆) = 2/7 Ом;

r₆ = R₄ R₅/ (R₄ + R₅ + R₆) = 4/7 Ом;

Схема, изображённая на рис. 48,в является эквивалентной схеме на рис. 48,б.

Здесь R’₃ = r₂ + R₃ + r₄ = 31/7 Ом; 

R’₇ = r₃ + R₇ + r₅ = 31/7 Ом, R’₃ = R’₇.

Общее сопротивление цепи 

R_общ = r₁ + R’₃/2 + r₆ = 47/14 Ом.

Задача № 46. Определить общее сопротивление неуравновешенного моста (рис. 49,а) , если R₁ = 1,0 Oм; R₂ = 1,6 Oм; R₃ = 2,0 Oм; R₄ = 1,2 Oм; R₅ = 2,0 Oм.

Если преобразовать «треугольник» из резисторов R₁, R₃, R₅ в эквивалентную «звезду», то получится простая схема (рис. 49,б). Рассчитаем сопротивления r₁, r₂ и r₃ по формулам: r₁ = R₁R₃/(R₁ + R₃ + R₅) = 0,4 Ом; r₂ = R₁R₅/(R₁ + R₃ + R₅) = 0,4 Ом; r₃ = R₃R₅/(R₁ + R₃ + R₅) = 0,8 Ом;

Общее сопротивление цепи R_общ = r₁ + (r₂ + R₂) (r₃ +R₄)/ (r₂ + R₂ + r₃ + R₄) = 1,4 Ом.